Quantum information

Quantum entanglement

Whether you are a novice or an expert, pick the depth that fits you and explore one of the most fascinating phenomena in physics.

Level 1 · Beginner

Magically linked

Imagine two tiny balls (electrons). If they are created together, they are somehow magically linked. Both balls can be blue or red, and before looking at them they can be thought of as being both colors at the same time.

Now you take them very far apart. You look at one, then the other, and you find a surprising rule: if the first one is red, the other one is always red too.

You might think they were both red from the beginning and you just had not looked yet, but here is the catch: quantum physics tells us that each ball had exactly a 50% chance to be red or blue before you looked at it. Even though each ball's color alone is unpredictable, together they obey a strict correlation.

Level 3 · Expert

Tensor products and Bell inequalities

In quantum mechanics, entanglement arises when the state of a composite system cannot be written as a tensor product of the states of its subsystems. For a bipartite system composed of subsystems \(A\) and \(B\), a pure state is entangled if:

\[ |\psi\rangle_{AB} \neq |\psi\rangle_A \otimes |\psi\rangle_B \]

Any bipartite pure state can be written using the Schmidt decomposition:

\[ |\psi\rangle_{AB}=\sum_i \sqrt{\lambda_i}\,|u_i\rangle_A \otimes |v_i\rangle_B \]

where \(\lambda_i \ge 0\) and \(\sum_i \lambda_i = 1\). The state is entangled if more than one Schmidt coefficient is nonzero.

A common quantitative measure of bipartite entanglement is the von Neumann entropy of the reduced density matrix:

\[ S(\rho_A)=-\mathrm{Tr}(\rho_A\log\rho_A), \quad \text{where } \rho_A=\mathrm{Tr}_B(\rho_{AB}) \]

A paradigmatic example is the Bell state:

\[ |\Phi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle) \]

which is maximally entangled. Although the global state is pure, each subsystem is maximally mixed: \(\rho_A=\frac{1}{2}I\). This explains why measurements on individual particles appear random even though the global state contains perfect correlations.

The nonclassical nature of these correlations appears in violations of Bell inequalities. In the CHSH scenario:

\[ S=\langle A\otimes B\rangle + \langle A\otimes B'\rangle + \langle A'\otimes B\rangle - \langle A'\otimes B'\rangle \]

\(|S|\le 2\) for any local hidden-variable theory, while quantum mechanics allows values up to \(2\sqrt{2}\) (Tsirelson bound). Despite this nonlocal behavior, entanglement does not allow faster-than-light communication: the reduced density matrix of one subsystem is independent of measurements performed on the other, ensuring the no-signaling condition.

Applications of entanglement

Quantum key distribution: cryptographic keys whose security is guaranteed by quantum mechanics.
Quantum teleportation: transferring a quantum state using shared entanglement and classical communication.
Quantum computing: entanglement between qubits enables powerful quantum algorithms.
Quantum metrology: entangled states can improve measurement precision beyond classical limits.

Information quantique

L'intrication quantique

Que vous soyez novice ou expert, choisissez le niveau qui vous correspond pour comprendre l'un des phénomènes les plus fascinants de la physique.

Niveau 1 · Débutant

Reliées comme par magie

Imaginez deux petites billes (électrons). Si elles sont créées ensemble, elles sont en quelque sorte reliées de manière magique. Les deux billes peuvent être bleues ou rouges, et avant de les observer, non seulement on ne peut pas savoir quelle couleur elles ont, mais en plus elles sont les deux couleurs en même temps !

Maintenant, vous les éloignez très loin l'une de l'autre. Vous regardez l'une, puis l'autre, et vous constatez une règle surprenante : si la première est rouge, l'autre est toujours rouge aussi !

On pourrait penser qu'elles étaient toutes les deux rouges dès le départ, mais voici le point important : la physique quantique nous dit que chaque bille avait exactement 50% de chance d'être rouge ou bleue avant l'observation. Même si la couleur de chaque bille prise individuellement est imprévisible, ensemble elles obéissent à des règles strictes.

Niveau 3 · Expert

Produit tensoriel et inégalités de Bell

En mécanique quantique, l'intrication apparaît lorsque l'état d'un système composite ne peut pas être écrit comme un produit tensoriel des états de ses sous-systèmes :

\[ |\psi\rangle_{AB} \neq |\psi\rangle_A \otimes |\psi\rangle_B \]

Tout état pur biparti peut être écrit à l'aide de la décomposition de Schmidt :

\[ |\psi\rangle_{AB}=\sum_i \sqrt{\lambda_i}\,|u_i\rangle_A \otimes |v_i\rangle_B \]

où \(\lambda_i \ge 0\) et \(\sum_i \lambda_i = 1\). L'état est intriqué si plus d'un coefficient de Schmidt est non nul.

Une mesure quantitative courante est l'entropie de von Neumann de la matrice de densité réduite :

\[ S(\rho_A)=-\mathrm{Tr}(\rho_A\log\rho_A), \quad \text{où } \rho_A=\mathrm{Tr}_B(\rho_{AB}) \]

Un exemple est l'état de Bell :

\[ |\Phi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle) \]

qui est maximalement intriqué. Bien que l'état global soit pur, chaque sous-système est maximalement mélangé : \(\rho_A=\frac{1}{2}I\).

Dans le scénario CHSH :

\[ S=\langle A\otimes B\rangle + \langle A\otimes B'\rangle + \langle A'\otimes B\rangle - \langle A'\otimes B'\rangle \]

\(|S|\le 2\) pour toute théorie à variables cachées locales, tandis que la mécanique quantique permet des valeurs allant jusqu'à \(2\sqrt{2}\) (borne de Tsirelson). Malgré ce comportement non local, l'intrication ne permet pas une communication plus rapide que la lumière, garantissant la condition de non-signalisation.

Applications de l'intrication

Distribution quantique de clés : sécurité garantie par la mécanique quantique.
Téléportation quantique : transfert d'un état quantique via intrication partagée et communication classique.
Informatique quantique : l'intrication entre qubits permet des algorithmes puissants.
Métrologie quantique : précision des mesures au-delà des limites classiques.

Informação quântica

Emaranhamento quântico

Sejas principiante ou especialista, escolhe o nível certo para ti e descobre um dos fenómenos mais fascinantes da física.

Nível 1 · Principiante

Ligadas como por magia

Imagina duas pequenas bolas (eletrões). Se forem criadas em conjunto, ficam de alguma forma ligadas de maneira mágica. As duas bolas podem ser azuis ou vermelhas, e antes de as observar, não só não se pode saber que cor têm, como além disso têm as duas cores ao mesmo tempo!

Agora, afasta-as muito uma da outra. Observa uma, depois a outra, e encontras uma regra surpreendente: se a primeira é vermelha, a outra será sempre vermelha!

Poder-se-ia pensar que ambas eram vermelhas desde o início, mas a física quântica diz-nos que cada bola tinha exatamente 50% de probabilidade de ser vermelha ou azul antes da observação. Mesmo que a cor de cada bola individualmente seja imprevisível, em conjunto obedecem a regras estritas.